Limites Indeterminados

Este limite se presenta, cuando el limite en la parte del cociente, al sustituir la "x" nos da 0 (error matemático), entonces procedemos a factorizar los elementos que podamos.

Factorización

Una vez que compruebes que tu limite es indeterminado, analiza la función como el ejemplo siguiente

Lim:   x²-16/x-4
x=4

Paso 1

Factoriza lo que puedas, en este caso se puede factorizar el numerador de la función 

Lim:   x²-16/x-4= (x-4)(x+4)/x-4
x=4

Paso 2

Analiza si puedes simplificar el limite, aquí se presentan bases iguales, divídelas

Lim:   (x-4)(x+4)/x-4 = x+4
x=4

Paso 3

Sustituye el valor de x y ese será tu resultado

Lim:   (4)+4=8

x=4

Factorización por factor común

Si en tu ecuación hay varios términos semejantes con algún termino en común, se puede resolver por factor común; ejemplo:

Lim:    x²+4x-6x/4x 

x=0

Paso 1

Determina el factor en común de la función 

Lim:    x²+4x-6x/4x= x(x+4-6)/x(4)

x=0

Paso 2

Se eliminan los términos semejantes, en este caso las x fuera de los paréntesis y queda así:

Lim:     x(x+4-6)/x(4)= x+4-6/4

x=0

Paso 3 

Ahora resuelve sustituyendo el valor de la x en tu función, y simplifica lo que se pueda

Lim:   (0)+4-6/4= -2/4= -1/2

x=0

Factorización por diferencia de cubos y suma de cubos

Cuando hay una ecuación que este elevada al cubo, se tiene que resolver por una formula, puede ser por suma de cubos o diferencia de cuadrados:

Diferencia de cubos:   (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)

Suma de cubos:  (a³+b³)=(a+b)(a²-ab+b²)

Ejemplo diferencia de cubos

Lim:  x³-1/x-1

x=1

Paso 1

Sustituir por medio de la formula la ecuación elevada al cubo

Lim:   x³-1/x-1=  (x-1) (x²+(x)(1)+1²)/x-1

x=1 

Paso 2 

Simplificar lo que se pueda y contrarrestar los términos semejantes del numerador y denominador

Lim:   (x-1) (x²+(x)(1)+1²)/x-1= x²+x+1²

x=1

Paso 3

Sustituye el valor del limite en las variables de la ecuación 

Lim:    (1)²+1+1² 

            1+1+1= 3

x=1

Ejemplo suma de cuadrados 

Para la suma de cuadrados, es el mismo procedimiento pero se cambian los signos de toda la formula 

Lim:    x³-8/x²-4

x=2

Paso 1

Sustituye la función a como te indica la formula 

Lim:   x³-8/x²-4= x³-2³

x=2    (x-2)*(x²-2x+2²)/x²-4

Paso 2

Se resuelve y factoriza lo que se pueda resolver dentro y fuera de los paréntesis, y después, se dividen los términos semejantes del numerador y denominador.

Lim:   (x-2)*(x²-2x+2²)/(x-2)(x+2)=

x=2      x²-2x+2²/x+2

Paso 3 

Sustituir el valor de x en la operación y resolverla 

Lim:   (2)²-2(2)+2²/(2)+2= 

x=2     4-4+4/4=  1

Limites con raíz y doble raíz

Raíz

Este método se puede aplicar cuando en tu limite, ya sea en el numerador o denominador, hay una raíz cuadrada como el ejemplo siguiente

Lim:   √x-1/x-1

x=1

Paso 1

Repetir los términos que tienen raíz en un paréntesis que indica multiplicación, pero se le cambia el signo que opera a las raíces

Lim:   √x-1/x-1*(√x+1/√x+1)

x=1

Paso 2

Multiplicar los términos semejantes de la ecuación 

Lim:   √x²-1/(x-1)(√x+1)

x=1

Paso 3

Cancelar las potencias con las raíces en caso de que tengan el mismo exponente

Lim:    x-1/(x-1)(√x+1)

x=1

Paso 4

Simplificar o dividir los términos semejantes del numerador y denominador

Lim:   1/√x+1

x=1

Paso 5

Simplificar y sustituir el valor de x en las variables de la ecuación y resolver hasta su mínima expresión

Lim:   1/√x+1= 1/√1+1= 1/2

x=1

Doble Raíz

Este se presenta cuando en el numerador y en el denominador está presente una o mas raíces

Lim:   √x-2/√4x-4

x=4

Paso 1

Repite las raíces en un paréntesis y multiplícalo por la función

Lim:   √x-2/√4x-4: (√x+2/√x+2)(√4x+4/√4x+4)

x=4

Paso 2

Multiplica los términos semejantes  

Lim:   √x-2/√4x-4: (√x+2/√x+2)(√4x+4/√4x+4)= (√x²-4)(√4x+4)/(√4x²-16)(√x+2)

x=4

Paso 3

Se eliminan las raíces que están elevadas al cuadrado y factoriza lo que se pueda

Lim:    (√x²-4)(√4x+4)/(√4x²-16)(√x+2)= (x-4)(√4x+4)/4(x-4)(√x+2)

x=4

Paso 4 

Divide los términos semejantes de la función 

Lim:   (x-4)(√4x+4)/4(x-4)(√x+2)= √4x+4/4(√x+2)

x=4

Paso 5

Por último, sustituye el valor de "x" en las variables de la función, resuelve y simplifica lo mas que se pueda

Lim:  √4(4)+4/4(√(4)+2)= √16+4/4(2+2)= 8/16= 1/2 

x=5